الفصل الثاني: العلوم الرياضية

مقدمة:

طلب المعرفة والفهم ميزة الإنسان بوصفه عاقلاً، ولكنّ المعارف عديدة (دينيّة، فلسفيّة، علميّة...) إلاّ أنّ علماء المنهج المعاصرين يتّفقون بغالبيتهم على تصنيف العلوم الوضعية في ثلاثة عناوين كبرى، غير  منفصلة تمامًا عن بعضها البعض هي: الرياضية والطبيعية والإنسانية.

          تبدو العلوم الرياضية للوهلة الأولى، مختلفة عن العلوم الأخرى. وإنّها تشكّل عالمًا خاصًا ومستقلاًّ، يتعلّق بالعقل فقط دون العودة إلى الواقع الخارجي، فالبعض يعتبر أنّ الرياضيّ لا يحتاج في عمله إلاّ إلى لوح أسود وطبشورة. وتجدر الإشارة إلى صعوبة وضع تعريف للرياضيات، بسبب تعدّد فروعها وتنوّع حقولها. ورغم ذلك يقول ديكارت "الرياضيات هي علم النظام والقياس". ففي الواقع ليس هنالك علم رياضي بل علوم  رياضية: فالحساب هو علم الأرقام، والجبر هو تجريد وتعميم للحساب، أمّا الهندسة فهي علم المقادير المتصلة.

      I.            أصل الرياضيات:

هل الرياضيات نتيجة للتجربة الحسيّة، أم هي فكرية محض من صنع العقل؟

أ-النظرية التجريبية:

تعتبر هذه النظرية أنّ الواقع يقدّم لنا أشكالاً محسوسة توحي بالمفاهيم الرياضية. يقول ستيوارت ميل: أنّ النقاط والخطوط والدوائر التي يدركها العقل هي نسخ عن النقاط والخطوط والدوائر التي عرفها بالتجربة. فالوقائع والموضوعات هي التي مهدت لظهور المفاهيم الرياضية، فمن الأفق استوحى الفكر الرياضي مفهوم الخط، ومن الشمس صدرت فكرة الدائرة، وعن جذع الشجرة ولد مفهوم الإسطوانة. كذلك فإن فكرة العدد  جاءتنا من خلال إدراكنا لتعددية الموضوعات المحسوسة. وهذا التطابق ما بين الترميز الرياضي والواقع فسّره اتباع التجريب بأسبقية التجربة على الواقع، وبكون المفاهيم الرياضية نسخًا عن المعطى الحسي والتجريبي. وتظهر الرياضيات عند التجريبيين على أنّها علم إستقرائي، أي أنّها حركة تصاعدية من الجزئيّ (المحسوس) إلى الكليّ (المعقول). وقد دافع التجربيون عن موقفهم، فلو كانت الرياضيات علم عقلي (إستنتاجي) بحت لكانت ظهرت منذ وجود الإنسان على الأرض.

ب- النظرية العقلانيّة:

يرى بعض الفلاسفة المثاليون أن المفاهيم الرياضية هي مبادئ قَبْلية (a priori) سابقة على التجربة ومستقلة عنها، فالعقل هو الذي ينتجها بغضّ النظر عن الوقائع. ويعتقد أفلاطون بوجود عالم مثالي أي عالم من الأفكار والجواهر. إنه العالم الحقيقي حيث تسعى الموضوعات الواقعية الحسية إلى مماثلته.

ويقول غوبلو (Goblot) إذا كانت موضوعات العلوم التجريبية محكومة بقوانين تجريدية تستهدف تفسير ومعرفة الواقع، فإن الرياضيات من جهتها، هي معرفة مستقلة عن الوقائع، وليست بحاجة لأن تكون موضوعاتها واقعية لكي تكون صحيحة وواضحة. فالخط الذي نرسمه وكذا الدائرة، لا تتمتع بالكمال أما فكرة الخط وفكرة الدائرة فهما تابعتان لعالم الأفكار والجواهر، وهما أفكار رياضية كاملة حسبما يدعي أفلاطون. وقد أعطى العقليون براهين عدّة على صحّة نظريتهم، فاعتبروا أنّ المتعلّم لا يذهب إلى المختبر في حصص الرياضيات، كما أنّ في الرياضيات لا مكان للتجربة والملاحظة.

فالمفهوم الرياضي هو الفكرة المكتملة التي يحتذي عالم الرياضيات حذوها ويشتغل في عملياته من خلالها. هذا يعني أن المفاهيم الرياضية موجودة في عالم مثالي محلق ومكتمل، ثم تأتي الموضوعات والأشكال الواقعية لتستوحي منها طابعها الرياضي. من هذا المنطلق فإنّ الرياضيات تظهر على أنّها علم إستنتاجي، أي أنّها تبدأ بمقدّمات عامّة والوصول من خلال ربطها بقضايا أخرى إلى نتائج صادقة. ويكون معيار الصدق فيها عدم التناقض بين المقدمات والنتائج.

ج- توليفة بين النظريتين:

يعود الخطأ في النظريتين السابقتين إلى إهمال الجانب البنائي العملي (Le caractère opératoire) في الفكر الرياضي. فالرياضيات ليست انعكاسًا سلبيًا للوقائع المحسوسة والتجريبية ولا هي انعكاس للفكر المجرد. إنها تُمثل النشاط المبدع في الفكر الإنساني ومن المستحيل أن نفصل العمليات الرياضية عن الفكر أو عن التجربة. فالإتجاه العقلاني يغلّط بجعله المفاهيم الرياضية محلقة في عالم مثالي منقطع عن الواقع. فالرياضيات ليست علومًا عقلية خالصة بل هي متصلة بأصلها الاختباري وبمطابقتها للعمليات الرياضية. فالمفاهيم والبديهيات الرياضية، وإن كانت ذات طابع عقلي وإبداعي، إلا إنها وثيقة الصلة بأصلها الحسي.

وبالفعل فإن العمليات الرياضية النظرية كانت في الأصل تقنيات عملانية محسوسة. فالهندسة كانت  عملية مسح للأراضي بطريقة القسمة التربيعية. والأعداد كانت مرتبطة بأعضاء الجسم وخصوصًا الأيدي والأصابع. فالأعداد الرومانية هي على شكل الأصابع المنفرجة V، أو المتوازية III، أو المتقاطعة X. كما أن حساب البيع كان يعتمد قديمًا على مماثلة كميات الأغراض بكميات من الحصى، فقد كانت كميات الحصى شواهد محسوسة على عمليات البيع بالحصى.

بهذا الشكل فإن الكائنات الرياضية ليست أشياء مدركة بالحس ولا أفكار متأملة بالنظر العقلي. ولكنها أدوات تقنية وعملانية، أي أدوات صالحة لإجراء العمليات. فالعدد صفر على سبيل المثال لا يمثل شيئًا على أرض الواقع، مع ذلك لا غنى عنه في العمليات الرياضية. كذلك هو الأمر بالنسبة للأعداد السلبية (nb. négatives) والكسور والأعداد المتخيلة، فهي جميعًا تمتاز بقدرتها على إجراء العمليات الرياضية.

 

 

   II.            مسألة البرهنة في الرياضيات.

أ‌-      البرهان المنطقي: (القياس البرهاني أو القياس المنطقي)

 الكلّ يتّفق على أنّ التفكير الرياضي هو أساسًا تفكير برهاني. والبرهان يقوم على مماثلة المعلوم بالمجهول identification. فعندما تتمّ هذه المماثلة، أو هذا التطابق يتمّ البرهان. هكذا تفعل، على سبيل المثال، معاجم اللغة: فإنّي إذا كنت أجهل معنى كلمة ما؛ فإنّي أبحث عنها في المعجم. فالمعجم يفسّرها، أي أنّه يضع ما يماثلها من كلمات معلومة، فالفهم لا يتمّ إذًا إلاّ إذا تمّ التماثل مع معلوم.

لقد اعتمد العلماء الرياضيون على منهج "القياس المنطقي" الذي ينطلق من الحدس ثمّ يخضع للتحكيم العقلي؛ نجد البرهان المنطقي واضحًا في القياس المنطقي الأرسطي الشهير Syllogisme التالي:

كلّ إنسان هو مائت (المقدّمة الكبرى)

سقراط هو إنسان (المقدمة الصغرى)

إذًا سقراط هو مائت (النتيجة)

هذه النتيجة ضرورية، أي أنّها لا يمكن أن تكون إلاّ ما هي، وليس شيئًا آخر؛ وكلّ نتيجة أخرى، غيرها، هي حكمًا خاطئة. فالتفكير يكون برهانيًا عندما تكون نتيجته ضرورية، أي عندما تكون نتيجته مماثلة للمقدّمات المعلومة. كما يتمتّع هذا البرهان بالدقّة وينطلق من فرضية ليصل إلى نتيجة حتميّة.

إنّ ما يميّز القياس المنطقي هو أنّ نتيجته الضرورية تقوم على المماثلة والتضمين inclusion، وهي شبيهة بثلاث دوائر تدخل الصغرى ضمن الأكبر منها: فالدائرة الكبرى هي "مائت"، وضمن هذه الدائرة تقع دائرة "إنسان"، وضمن هذه الدائرة تقع دائرة "سقراط" وهي الصغرى. هذا التضمين يعني: أنّ الأكبر يتضمّن الأصغر. وهكذا يكون القياس برهانًا إستنتاجيًا. وهذا يعني أنّ النتيجة واقعة ضمن المقدمات، ولا تقول سوى ما هو موجود في المقدمات، فهو لا يولّد حقيقة جديدة، ولا يضيف شيئًا إلى معرفتنا. لذا قيل عن هذا القياس أنّه حشوي tautologique. إذًا إنّ البرهان المنطقي عقيم، هو إذًا تحصيل حاصل ليس إلاّ.

ب‌-  البرهان الرياضي: (افتراضي- استنباطي)

إنّ التفكير الرياضي هو برهاني، كالتفكير القياسي المنطقي؛ ونتيجته هي دائمًا ضرورية. ولكنّه بخلاف التفكير القياسي، لا يقتصر على عمليات التضمين وحدها، بل يتعدّاها إلى مختلف علاقات الكم quantite. يمكننا أن نشبّه الرياضيات بالقياس، على النحو التالي:

إذا كانت أ = ب (مقدمة كبرى)

إذا كانت ب = ج (مقدمة صغرى)

إذًا  أ = ج (نتيجة) (مع الإنتباه إلى أنّ أ، ب، ج هي أشمل من سقراط وإنسان ومائت)

النتيجة في الرياضيات، كما في القياس، هي ضرورية؛ وهي أيضًا برهانية، لأنّ البرهان الرياضي يقوم على ردّ المجهول الحاضر إلى معلوم مسبق. مثال ذلك أنّي إذا أردت أن أبرهن أنّ 4=2+2، لا بدّ لي من ردّ هذه القضية المجهولة إلى قضايا معلومة ومقبولة بأنها صحيحة، مثل:

4=3+1  و3=2+1  والبرهنة هنا تقوم على ردّ كلّ عدد إلى مثيله المعروف.

ففي القضية الأولى، أستطيع أن أضع محل 3، مثيلها وهو: 2+1؛ وهكذا يكون معي:

4= (2+1)+1  أو 4=2+(1+1) وبما إنّي أعرف سلفًا أنّ 1+1=2

إذًا: 4=2+2 هذا يعني أنّ البرهان هنا ليس سوى مماثلة المجهول بالمعلوم. ولكن لنفترض أني لا أعرف مسبقًا أنّ: 4=3+1  و3=2+1  و2=1+1

فكيف يمكنني، والحالة هذه، أن أبرهن أنّ 4=2+2؟

الجواب: إنّ هذا البرهان لا يعود ممكنًا، بل يصبح مستحيلاً؛ لأنّه ليس بإمكاني هنا أن أردّ المجهول إلى معلوم، إذ لا معلوم لديّ!

توفّر لنا البرهنة الرياضية الضرورة والخصوبة، وهو في الأساس برهان حشوي،يوفّر مماثلة كاملة داخل القضايا ذاتها وبينها وبين المقدمات. وتتولّد الحشويات الرياضية بطريقتي التحليل والتركيب. يتبع التحليل طريقًا تصاعديًا من القضايا المطلوب برهنتها إلى قضايا مبرهنة سابقًا، في حين يسلك التركيب سبيلاً هابطًا من المبادئ والقضايا المبرهنة إلى النتائج. والمطلوب في الحالتين توليد مماثلات رياضية.

ج- توليفة بين البرهانين:

لذا قيل إنّ الرياضيات هي علم فرضي –استنباطي ( hypothético-déductive)، أي أنّها تنطلق من مسلّمة هي مجرّد فرضيّة( وليست حقيقة مطلقة)، والنتيجة تكون صحيحة إذا كانت مستنبطة بشكل صحيح من هذه المسلمّة-الفرضيّة. فإذا غيّرنا الفرضيّة فإنّنا نكون ملزمين بتغيير النتيجة.

اكتشف هنري بوانكريه (Poincaré ) أنّ في التفكير الرياضي نوعاً من الاستقراء (induction) سمّاه: "التفكير بالشمول" (raisonnement par récurrence)، لأنه يقوم على تعميم نتيجة برهان خاص؛ وجعله يشمل كل الحالات المشابهة من غير أن يكون قد برهن على كل هذه الحالات، بل على بعضها فقط. وهذه الطريقة هي استقرائية، لا استنتاجية، لأنها تنطلق من الخاص الى العام. وهي شبيهة بالطريقة التي يستخدمها الفيزيائي الذي يستخلص من مراقبة عدد محدود من الحوادث، قانوناً عاماً عن الطبيعة.

خاتمة

لذلك قيل إنّ عصرنا شهد سقوط المطلقات الرياضية القديمة. فالرياضيات ليست علماً نظرياً محضاً كما يُظن، بل هي علم عملانيّ، وليست عقيمة كالقياس المنطقي، بل خصيبة تضبط سائر العلوم الأخرى. فإذا كانت الحقيقة الرياضية هي توافق الفكر مع اختراعاته واصطلاحاته الرياضية، وإذا كانت الرياضيات نوعاً من المنطلق الرمزي، المعروف اليوم باسم ((اللوجستية)) (Logistique) التي وسّعها برتراند راسل (Bertrand Russell)، فإنّ الأفكار الرياضية المجرّدة ليست منقطعة عن العالم، أي ليست إختراعاً لا غاية له، بل هي منغرسة في العالم اليوم أكثر من السابق. وإنها تسعى، مع العلوم الأخرى وبخاصة الفيزياء، إلى إعادة صياغة العالم صياغة عقليّة.

الرياضيات في مجال علوم المادة لغة تعبير أكثر منها منهج اكتشاف، إنّها توفّر للقوانين العلمية مزيدًا من الدقّة إلاّ أنّها تصادف صعوبات كثيرة في مجال العلوم الإنسانية نظرًا لتعقيد الواقع الإنساني وخصوصياته. 

تصاميم المقالات الفلسفيّة للمواضيع الشائعة في الإمتحانات الرسميّة

الاحتمال الأوّل:

إذا كان الموضوع يركّز على أنّ الرياضيات هي نتيجة التجربة الحسيّة السابقة والاستقراء، أو إذا تضمّن الموضوع مصطلحات مثل : تجربة حسيّة، أجسام صلبة...

المقدّمة: مقدّمة الدرس + يتناول هذا الموضوع مسألة أصل الرياضيات وفي هذا الإطار اعتبر بعض الفلاسفة والمفكرين أنّ الرياضيات هي من طبيعة تجريبية حسيّة، عرفها الإنسان من خلال حواسه وإدراكه للواقع الخارجي.

الإشكاليّة: ما هو أصل الرياضيات؟ أصحيح أنّ الرياضيات هي علم استقرائي عرفه الإنسان من خلال التجربة الحسيّة السابقة؟ أم أنّها عقلية استنتاجية يبنيها الإنسان بفكره من دون العودة إلى الواقع؟

الشّرح: في الواقع،... (النّظريّة التجريبية)

المناقشة: في المقابل،... (النظرية العقلانية + التوليفة).

الرّأي الشخصي: الخاتمة + الإجابة على السؤال الأخير من المسابقة.

 

الإحتمال الثّاني:

إذا كان الموضوع يركّز على أنّ الرياضيات هي نتيجة العقل والفكر والاستنتاج.

المقدّمة: مقدّمة الدرس + يتناول هذا الموضوع مسألة أصل الرياضيات وفي هذا الإطار اعتبر بعض الفلاسفة والمفكرين أنّ الرياضيات هي علم استنتاجي عرفه الإنسان من خلال الفكر والعقل وليس بالتجربة الحسيّة.

الإشكاليّة: ما هو أصل الرياضيات؟ أصحيح أنّ الرياضيات هي علم استنتاجي عقلي يبنيه الانسان بواسطة فكره دون العودة إلى الواقع الخارجيّ؟ أم أنّها علم استقرائي عرفه الإنسان من خلال التجربة الحسيّة السابقة؟

الشّرح: في الواقع،... (النّظريّة العقلانية)

المناقشة: في المقابل،... (النظرية التجريبية + التوليفة).

الرّأي الشخصي: الخاتمة + الإجابة على السؤال الأخير من المسابقة.

 

 

 

 

الإحتمال الثّالث:

إذا كان الموضوع يركّز على أنّ الرياضيات تستخدم البرهان المنطقي، أو القياس المنطقي أو الاستدلال المنطقي، أو القياس الأرسطي...

المقدّمة: مقدّمة الدرس + يتناول هذا الموضوع مسألة البرهنة في الرياضيات وفي هذا الإطار اعتبر بعض الفلاسفة والمفكرين أنّ الرياضيات تعتمد على القياس المنطقي بشكلٍ أساسيّ.

الإشكاليّة: ما هي طريقة البرهنة في الرياضيات؟ أصحيح أنّ الرياضيات تقوم على البرهنة انطلاقًا من البرهان المنطقي؟ أم أنّه يوجد براهين أخرى كالبرهان الرياضي تلعب دورًا أساسيًا في هذا المجال؟

الشّرح: في الواقع،... (البرهان المنطقي)

المناقشة: في المقابل،... (البرهان الرياضي + توليفة بين البرهانين).

الرّأي الشخصي: الخاتمة + الإجابة على السؤال الأخير من المسابقة.

 

الاحتمال الرّابع:

إذا كان الموضوع يركّز على أنّ الرياضيات تستخدم البرهان الرياضي أو الاستنباطي أو الافتراضي ...

المقدّمة: مقدّمة الدرس + يتناول هذا الموضوع مسألة البرهنة في الرياضيات وفي هذا الإطار اعتبر بعض الفلاسفة والمفكرين أنّ الرياضيات تعتمد على البرهان الرياضي بشكلٍ أساسيّ.

الإشكاليّة: ما هي طريقة البرهنة في الرياضيات؟ أصحيح أنّ الرياضيات تقوم على البرهنة انطلاقًا من البرهان الرياضي الاستنباطي؟ أم أنّه يوجد براهين أخرى كالبرهان المنطقي تدخل ضمن هذه العملية؟

الشّرح: في الواقع،... (البرهان الرياضي)

المناقشة: في المقابل،... (البرهان المنطقي + توليفة بين البرهانين).

الرّأي الشخصي: الخاتمة + الإجابة على السؤال الأخير من المسابقة. 

Make a free website with Yola